Question

5．若集合M滿足：?x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，則稱集合M是封閉的．顯然，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q都是封閉的．對(duì)于封閉的集合M（M⊆R），f：M→M是從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，
①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就稱是保加法的；
②如果?x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就稱f是保乘法的；
③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就稱f在M上是保運(yùn)算的．
在上述定義下，集合$\left\{{\sqrt{3}m+n\left|{m，n∈Q}\right.}\right\}$是封閉的（填“是”或“否”）；若函數(shù)f（x）在Q上保運(yùn)算，并且是不恒為零的函數(shù)，請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)f（x）=f（x）=x，x∈Q．

Answer 1

分析 設(shè)x=$\sqrt{3}$m+n，y=$\sqrt{3}$a+b，m，n，a，b∈Q，利用新定義證明即可，設(shè)當(dāng)f（x）=x，x∈Q滿足條件，設(shè)m，n∈Q，根據(jù)新定義驗(yàn)證即可．

解答 解：設(shè)x=$\sqrt{3}$m+n，y=$\sqrt{3}$a+b，m，n，a，b∈Q，
∴x+y=$\sqrt{3}$m+n+$\sqrt{3}$a+b=$\sqrt{3}$（m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，
即f（x+y）=f（x）+f（y），
∴xy=（$\sqrt{3}$m+n）（$\sqrt{3}$a+b）=3ma+$\sqrt{3}$（mb+an）+bn=$\sqrt{3}$（mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，
∴f（xy）=f（x）•f（y），
∴上述定義下，集合$\left\{{\sqrt{3}m+n\left|{m，n∈Q}\right.}\right\}$ 是封閉的，
當(dāng)f（x）=x，x∈Q滿足條件，
設(shè)m，n∈Q，
∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），
f（mn）=mn=f（m）•f（n），
故答案為：是，f（x）=x，x∈Q

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握題目所告訴的條件，屬于基礎(chǔ)題．