Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)曲線截直線所得線段的中點(diǎn)極坐標(biāo)為時(shí)，求直線的傾斜角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用可將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；

（Ⅱ）解法一：可直線曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)弦的端點(diǎn)分別為，，利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，即得的值；

解法二：寫(xiě)出直線的參數(shù)方程為，將直線參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，由可求出角的值.

（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），得：，

曲線的參數(shù)方程化為普通方程為：；

（Ⅱ）解法一：中點(diǎn)極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為.

設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，則，.

則，②-①得：，

化簡(jiǎn)得：，即，

又，直線的傾斜角為；

解法二：中點(diǎn)極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為，

將分別代入，得.

，

，即.

，即.

又，直線的傾斜角為.