Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x+a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a=5，求函數(shù)f（x）的最小值，并寫出此時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）寫出分段函數(shù)，畫圖得答案；
（Ⅱ）由絕對(duì)值的幾何意義，把f（x）≥3恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的含有絕對(duì)值的不等式求解．

解答 解：（Ⅰ）若a=5，f（x）=|x+2|+|x+5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-7，x＜-5}\\{3，-5≤x≤-2}\\{2x+7，x＞-2}\end{array}\right.$．
其圖象如圖：

∴f（x）的最小值為3，使f（x）取得最小值的x的集合為{x|-5≤x≤-2}；
（Ⅱ）f（x）=|x+2|+|x+a|=|x-（-2）|+|x-（-a）|，
由絕對(duì)值的幾何意義可知，f（x）為數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x與兩個(gè)定點(diǎn)-2、-a的距離的和，
如圖：

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)x與-2重合時(shí)，|x-（-2）|最小為0，要使f（x）≥3恒成立，
則|-2-（-a）|≥3，即|a-2|≥3，得a-2≤-3或a-2≥3，
∴a≤-1或a≥5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)的應(yīng)用，考查恒成立問題的求解方法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查絕對(duì)值的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．