Question

6．設f（x）是定義在R上的偶函數，F（x）=（x+2）³f（x+2）-17，G（x）=-$\frac{17x+33}{x+2}$，若F（x）的圖象與G（x）的圖象的交點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_m，y_m），則$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=-19m．

Answer 1

分析 判斷F（x）與G（x）的對稱性，找出對稱中心，利用交點的對稱性得出結論．

解答 解：∵f（x）是偶函數，
∴g（x）=x³f（x）是奇函數，
∴g（x）的圖象關于原點（0，0）對稱，
∴F（x）=（x+2）³f（x+2）-17=g（x+2）-17關于點（-2，-17）對稱，
又G（x）=-$\frac{17x+33}{x+2}$關于點（-2，-17）對稱，
∴$\sum_{i=1}^{m}{x}_{i}$=$\frac{m}{2}×（-4）$=-2m，
$\sum_{i=1}^{m}{y}_{i}$=$\frac{m}{2}×（-34）$=-17m，
∴$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=$\sum_{i=1}^{m}{x}_{i}$+$\sum_{i=1}^{m}{y}_{i}$=-19m．
故答案為：-19m．

點評 本題考查了函數的奇偶性判斷，函數零點與函數對稱性的關系，屬于中檔題．