四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PBBCPDCD,且PA=2,E點滿足.

(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求二面角EACD的大;

(Ⅲ)在線段BC上是否存在點F使得PF∥面EAC?若存在,確定F的位置;若不存在,請說明理由

解:(Ⅰ)證明:在正方形ABCD中,ABBC   又∵PBBC ∴BC⊥面PAB ∴BCPA

同理CDPA ∴PA⊥面ABCD                         

(Ⅱ)在AD上取一點O使AOAD,連接EO,則EOPA,∴EO⊥面ABCD 過點O

OHACACH點,連接EH,則EHAC,從而∠EHO為二面角EACD的平面角  

在△PAD中,EOAP在△AHO中∠HAO=45°,

HOAOsin45°=·,∴tan∠EHO=2,

∴二面角EACD等于arctan2                                  

(Ⅲ)當FBC中點時,PF∥面EAC,理由如下:

AD∥2FC,∴,又由已知有,∴PFES

∵PF面EAC,EC⊂面EAC ∴PF∥面EAC,

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