Question

（2013•浙江模擬）一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和n個(gè)紅球（n≥2且n∈n^*），每次從袋中摸出兩個(gè)球（每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中），若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)．
（Ⅰ） 摸球一次，若中獎(jiǎng)概率為

1

3

，求n的值；
（Ⅱ） 若n=3，摸球三次，記中獎(jiǎng)的次數(shù)為ξ，試寫出ξ的分布列并求其期望．

Answer 1

分析：（I）求出一次摸球從n+2個(gè)球中任選兩個(gè)方法，兩球顏色相同有C_n²+C₂²種選法，即可求出摸球中獎(jiǎng)的概率P，再由p=

1

3

即可求n的值；
（II）由題意知若n=3，求得每次摸球中獎(jiǎng)的概率

2

5

，根據(jù)ξ～B（3，

2

5

），Eξ=n×p，即可求出ξ的期望．

解答：解：（I）一次摸球從n+2個(gè)球中任選兩個(gè)，有C_n+2²種選法，其中兩球顏色相同有C_n²+C₂²種選法；
一次摸球中獎(jiǎng)的概率P=

C 2 n C 3 2

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

；
由

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

得n=2；
（II）由題意知若n=3，則每次摸球中獎(jiǎng)的概率為p=

C 2 2 + C 2 3

C 2 5

=

2

5

，且ξ～B（3，

2

5

）
所以ξ的期望為Eξ=n×p=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合及組合數(shù)公式，等可能事件的概率，離散型隨機(jī)變量期望．求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．