Question

19．已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．
（1）直線l過原點(diǎn)，且它的傾斜角α=$\frac{3π}{4}$，求l與圓E的交點(diǎn)A的極坐標(biāo)（點(diǎn)A不是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）直線m過線段OA中點(diǎn)M，且直線m交圓E于B、C兩點(diǎn)，求|MB|•|MC|為定值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的傾斜角α=$\frac{3π}{4}$，可得直線l的極角θ=$\frac{3π}{4}$，或θ=$\frac{7π}{4}$．代入圓E的極坐標(biāo)方程即可得出．
（2）由（1）可得：線段OA的中點(diǎn)M$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得直角坐標(biāo)M．又圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線l的參數(shù)方向?yàn)椋?\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得關(guān)于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|即可證明．

解答 解：（1）∵直線l的傾斜角α=$\frac{3π}{4}$，
∴直線l的極角θ=$\frac{3π}{4}$，或θ=$\frac{7π}{4}$．代入圓E的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ
可得：$ρ=2\sqrt{2}$或ρ=-2$\sqrt{2}$（舍去）．
∴l(xiāng)與圓E的交點(diǎn)A的極坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$．
（2）由（1）可得：線段OA的中點(diǎn)M$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得直角坐標(biāo)M（-1，1）．
又圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4y=0，
設(shè)直線l的參數(shù)方向?yàn)椋?\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓的方程可得：t²-2t（sinα+cosα）-2=0，△＞0，
∴t₁t₂=-2．
∴|MB|•|MC|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=2，為定值．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、三角函數(shù)求值、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．