Question

19．定義方程f（x）=f′（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)f（x）的“異駐點(diǎn)”．若函數(shù)g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“異駐點(diǎn)”分別為α，β，γ，則α，β，γ的大小關(guān)系為（　　）

• A． α＞β＞γ
• B． β＞α＞γ
• C． β＞γ＞α
• D． γ＞α＞β

Answer 1

分析 由題設(shè)中所給的定義，對(duì)三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程進(jìn)行研究，分別計(jì)算求出α，β，γ的值或存在的大致范圍，再比較出它們的大小即可選出正確選項(xiàng)．

解答 解：①∵g（x）=2016x，∴g′（x）=2016，由g（x）=g′（x），解得2016x=2016，∴α=1．
②∵h(yuǎn)（x）=ln（x+1），
∴h′（x）=$\frac{1}{x+1}$，由h（x）=h′（x），得到ln（x+1）=$\frac{1}{x+1}$，
令h（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，因此函數(shù)h（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增．
∵h(yuǎn)（0）=-1＜0，h（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，∴0＜β＜1．
③∵φ（x）=x³-1，∴φ′（x）=3x²，由φ（x）=φ′（x），得x³-1=2x²，
∵2x²＞0，（x=0時(shí)不成立），∴x³-1＞0，∴x＞1，∴γ＞1．
綜上可知：γ＞α＞β．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、新定義“新駐點(diǎn)”、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．