Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量X為“|a-b|的取值”．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（Ⅱ）記事件A=“函數(shù)f（t）=2Xt+4在區(qū)間（-3，-

2

3

）上存在零點(diǎn)”，求事件A的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）對稱軸在y軸的左側(cè)時(shí)，a與b同號，故可求滿足條件的拋物線有126條，故可求相應(yīng)的“|a-b|的取值”的概率，進(jìn)而得到均值EX．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（t）=2Xt+4在區(qū)間（-3，-

2

3

）上存在零點(diǎn)時(shí)X的范圍，即可求出事件A的概率．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�對稱軸在y軸左側(cè)，所以b與a同符號，且 a≠0，b≠0；
所有滿足的拋物線總數(shù)有3×3×2×7=126個(gè)
|a-b|可能取值有0，1，2
X=0時(shí)有6×7=42個(gè)，P（X=0）=

42

126

=

1

3

X=1時(shí)有4×2×7=56個(gè)，P（X=1）=

56

126

=

4

9

X=2時(shí)有4×7=28個(gè)，P（X=2）=

28

126

=

2

9

，
X的分布列為

X	0	1	2
P	1 3	4 9	2 9

故EX=0×

1

3

+1×

4

9

+2×

2

9

=

8

9

；
（Ⅱ）事件A=“函數(shù)f（t）=2Xt+4在區(qū)間（-3，-

2

3

）上存在零點(diǎn)”，則f（-3）f（-

2

3

）＜0，
∴（-6X+4）（-

4

3

X+4）＜0，
∴

2

3

＜X＜3，
∴P（A）=P（X=1）+P（X=2）=

2

3

點(diǎn)評：本題以拋物線為載體，考查概率知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù)．