Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足${S_n}=2{a_n}-{2^n}（n∈{N^*}）$．
（1）證明$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，求出a_n即可，
（2）根據(jù)S_n=2a_n-2ⁿ，即可數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）證明：a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∵S_n=2a_n-2ⁿ，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2^n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1+2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=（n+1）2^n-1，
（2）∵S_n=2a_n-2ⁿ，
∴S_n=2（n+1）2^n-1-2ⁿ=n-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列的前n項(xiàng)，屬于中檔題