Question

（08年正定中學(xué)一模理）   （12分）  已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓C₁的方程；

（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)F_2­，直線過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)P，線段PF₂垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；

（3）設(shè)C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C₂上，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

解析：（1），

        ∵直線l：x－y+2=0與圓x²+y²=b²相切，∴=b，∴b=，b²=2，∴a³=3.       

        ∴橢圓C₁的方程是

………………….(3分)

（2）∵MP＝MF，

∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x＝－1的距離等于它的定點(diǎn)F₂（1，0）的距離，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以l₁為準(zhǔn)線，F₂為焦點(diǎn)的拋物線，                                     

 ∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為。      …………………………….(7分)

（3）Q（0，0），設(shè)，

 

，       

由得  ，

，化簡(jiǎn)得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴當(dāng).  

         故的取值范圍是.………………………….(12分)