Question

18．已知Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊和斜邊上的高分別為c、h，則$\frac{c+2h}{a+b}$的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)A=θ，則h=bsinθ，a=btanθ，c=$\frac{cosθ}$，代入所求，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），根據(jù)角θ的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解其范圍．

解答 解：如圖所示，
設(shè)A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=$\frac{cosθ}$．
∴$\frac{c+2h}{a+b}$=$\frac{\frac{cosθ}+2bsinθ}{btanθ+b}$
=$\frac{1+2sinθcosθ}{sinθ+cosθ}$
=$\frac{（sinθ+cosθ）^{2}}{sinθ+cosθ}$
=sinθ+cosθ
=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．
∴$\frac{c+2h}{a+b}$的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．