Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數）.

（1）若曲線與曲線有兩個不同的公共點，求的取值范圍；

（2）當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）．

【解析】

試題消去參數把曲線的參數方程化為普通方程，利用公式把曲線的極坐標方

程化為直角坐標方程，利用數形結合的思想可以得出曲線有一個公共點時的的范圍；（2）直線

N:，設M上點為，，則 ，由此可求

得最小值．

試題解析：對于曲線M,消去參數，得普通方程為,曲線是拋物線的一部分； 對于曲線N，化成直角坐標方程為，曲線N是一條直線． （2分）

（1）若曲線M,N只有一個公共點，則有直線N過點時滿足要求，并且向左下方平行運動直到過點之前總是保持只有一個公共點，再接著向左下方平行運動直到相切之前總是有兩個公共點，所以滿足要求；相切時仍然只有一個公共點，由，得 ，求得．綜合可求得的取值范圍是：或． （6分）

（2）當時，直線N:，設M上點為，，則

，

當時取等號，滿足，所以所求的最小距離為． （10分）