Question

14．已知函數(shù)f（x）=axe^x，其中常數(shù)a≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）若直線y=e（x-$\frac{1}{2}$）是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）設(shè)出切點坐標為（m，ame^m），求出切線斜率和方程，根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=a（e^x+xe^x）=a（1+x）e^x，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞-1，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞），
由f′（x）＜0，得x＜-1，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），
若a＜0，由f′（x）＞0得x＜-1，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），
由f′（x）＜0，得x＞-1，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）；
（Ⅱ）當a=1時，由（1）得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），
即當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值為f（-1）=-$\frac{1}{e}$，無極小值；
（Ⅲ）設(shè)切點為（m，ame^m），
則對應的切線斜率k=f′（m）=a（1+m）e^m，
則切線方程為y-ame^m=a（1+m）e^m（x-m），
即y=a（1+m）e^m（x-m）+ame^m=a（1+m）e^mx-ma（1+m）e^m+ame^m=a（1+m）e^mx-m²ae^m，
∵y=e（x-$\frac{1}{2}$）=y=ex-$\frac{1}{2}$e，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（1+m）{e}^{m}=e}\\{a{m}^{2}{e}^{m}=\frac{1}{2}e}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即若直線y=e（x-$\frac{1}{2}$）是曲線y=f（x）的切線，則實數(shù)a的值是$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用以及導數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進行分類討論，綜合性較強，運算量較大．