Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．若在區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“g（x）≥1”發(fā)生的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），得出ω的值與f（x）的解析式；根據(jù)圖象平移寫出g（x）的解析式，令g（x）≥1，求出“g（x）≥1“的解集，再利用幾何概型計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴f（x）的最小正周期為T=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
把f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得
函數(shù)g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos2x的圖象，
令g（x）≥1，得cos2x≥$\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
在區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上滿足“g（x）≥1“的區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]；
隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，事件“g（x）≥1”發(fā)生的概率為
P=$\frac{\frac{π}{6}-（-\frac{π}{6}）}{\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）}$=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與圖象平移問(wèn)題，也考查了幾何概型的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．