Question

13．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，已知曲線C的方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，點(diǎn)$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)B為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為對(duì)角線的矩形BEAF的一邊平行于極軸，求矩形BEAF周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)B的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，即ρ²（1+2sin²θ）=3，利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．點(diǎn)$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$即可化為直角坐標(biāo)．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα，\;\;\\ y=sinα，\;\;\end{array}\right.（α為參數(shù)，\;\;α∈[0，\;\;2π））$，可設(shè)：設(shè)$B（\sqrt{3}cosα，\;\;sinα）$，依題意可得$|BE|=3-\sqrt{3}cosα，\;\;|BF|=\sqrt{3}-sinα$，即可得出矩形BEAF的周長(zhǎng)，再利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C的方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，即ρ²（1+2sin²θ）=3，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
點(diǎn)$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$化為直角坐標(biāo)為A$（3，\;\;\sqrt{3}）$．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα，\;\;\\ y=sinα，\;\;\end{array}\right.（α為參數(shù)，\;\;α∈[0，\;\;2π））$，
∴設(shè)$B（\sqrt{3}cosα，\;\;sinα）$，
依題意可得$|BE|=3-\sqrt{3}cosα，\;\;|BF|=\sqrt{3}-sinα$，
矩形BEAF的周長(zhǎng)=$2|BE|+2\;|BF|=6+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}cosα-2sinα$=$6+2\sqrt{3}-4sin（{α+\frac{π}{3}}）$，
當(dāng)$α=\frac{π}{6}$時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為$2+2\sqrt{3}$，
此時(shí)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為$（{\frac{3}{2}，\;\;\frac{1}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．