Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

(2)證明：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析．

【解析】試題分析：

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性可得滿足題意時(shí)，解得.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論不妨設(shè)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.

試題解析：

(1)方法1： ， ，

時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ；

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，∵有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

故，∴.

方法2：由題意知方程僅有一實(shí)根，

由得 ()，

令， ，

時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，

所以要使僅有一個(gè)零點(diǎn)，則.

方法3：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)即為直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，

由得，∴，∴，

所以實(shí)數(shù)的值為1.

(2)由(1)知，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

∵，令得， ，

，

即.