Question

5．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-ax+2．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}ln（n+1）$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論函數(shù)遞減和函數(shù)遞增，從而求出a的范圍即可；
（3）令a=2，得：lnx＞$\frac{{2（{x-1}）}}{x+1}$在（1，+∞）上總成立，令x=$\frac{n+1}{n}$，得ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{2（\frac{n+1}{n}-1）}{\frac{n+1}{n}+1}$，化簡得：ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，對x取值，累加即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx-x+2，（x＞0），
f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，f′（1）=1，f（1）=1，
所以求在x=1處的切線方程為：y=x．
（2）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，（x＞0）．
（i）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減時(shí)，
即a≥lnx+$\frac{x+1}{x}$時(shí)，令g（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，
當(dāng)x＞e^a時(shí)，g′（x）＞0，不成立；
（ii）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時(shí)，a≤lnx+$\frac{x+1}{x}$；
令g（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，
則g′（x）=$\frac{x-1}{x^2}$，x＞0；
則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以g（x）≥2，故a≤2．
（3）由（ii）得當(dāng)a=2時(shí)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx-2x+2＞0，
即lnx＞$\frac{{2（{x-1}）}}{x+1}$在（1，+∞）上總成立，
令x=$\frac{n+1}{n}$得ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{2（\frac{n+1}{n}-1）}{\frac{n+1}{n}+1}$，
化簡得：ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，
所以ln2-ln1＞$\frac{2}{2+1}$，
ln3-ln2＞$\frac{2}{5+1}$，…，
ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，
累加得ln（n+1）-ln1＞$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+…+\frac{2}{2n+1}$，
即$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}$ln（n+1），n∈N^*命題得證．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．