如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA上的動點．
（I）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）如果E是PA的中點，求證：PC∥平面BDE；
（Ⅲ）探究：不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，BD⊥CE是否都成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．
（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=
1
3
SABCD•PA=
1
3
×12×2=
2
3
…3分
即四棱錐P-ABCD的體積為
2
3
．…4分
（2）證明：連接AC交BD于O，連接OE．
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點．
又∵E是PA的中點，∴PC∥OE．…6分
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…8分
（3）不論點E在何位置，BD⊥CE成立．…9分
證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
又∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…10分
∵不論點E在何位置，都有CE?平面PAC．
∴不論點點E在何位置，BD⊥CE成立．…12分．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐S-ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分別為AB、SC中點．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的表面積；
（Ⅱ）求證：MN∥平面SAD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖為一組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDA；
（Ⅱ）求四棱錐B-CEPD的體積；
（Ⅲ）求該組合體的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點，EP⊥底面ABCD．
（1）求證：AQ∥平面CEP；
（2）求證：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱錐E-AQC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2．
（1）求證：BC∥平面A1DE；
（2）求證：BC⊥平面A1DC；
（3）當D點在何處時，A1B的長度最小，并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=
3
5
．
（1）求證：BC⊥AC1；
（2）若D是AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=
2
，E、F、G分別A1B1、B1C1、BB1的中點．
（1）求直線D1B與平面ABCD所成角的大�。�
（2）求證：AC∥平面EGF．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別為A1B1、AB的中點．
①求證：平面A1NC∥平面BMC1；
②若AB=AA1，求BM與AC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點A，PA=AB=2，點M，N分別是PD，PB的中點．
（I）求證：PB∥平面ACM；
（II）求證：MN⊥平面PAC；
（III）求四面體A-MBC的體積．

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