【題目】已知為實(shí)常數(shù),函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ) 上是增函數(shù),在上是減函數(shù);

(Ⅱ) 的取值范圍是

【解析】

試題分析:

(1)求出函數(shù)的定義域后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),通過(guò)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),即可得出函數(shù)的單調(diào)性.(2)(1)的基礎(chǔ)上知,函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的必要條件是a0=ln0,解得0a1.為求充分條件,通過(guò)分析后取x==1+1=0,由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知在(,)存在一個(gè)零點(diǎn). 再取x=,通過(guò)分析后)<0,易知存在x∈(,),使得x=0,所以可知0a1時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

試題解析:

解:(Ⅰ)x) =lnx+1﹣ax,

函數(shù)x)的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),其導(dǎo)數(shù)′(x)=

當(dāng)a≤0時(shí),′(x)>0,函數(shù)x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

當(dāng)a>0時(shí),′(x)>00<x<;′(x)<0x

所以函數(shù)x)在(0,)上是增函數(shù),在(,+∞)上是減函數(shù).

(Ⅱ)由()得,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),不可能有兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)x)在(0,)上是增函數(shù),在(,+∞)上是減函數(shù),

此時(shí))為函數(shù)g(x)的最大值,

)≤0,則函數(shù)x)最多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意,

所以)=ln>0,解得0<a<1.

因?yàn)椋?/span><1<,取)=﹣1﹣+1=﹣<0,

x1∈(),使得x1)=0;

)=2﹣2lna(0<a<1),

F(a)=2﹣2lna﹣(0<a<1),則F′(a)=﹣+=>0,(0<a<1),

所以F(a)在(0,1)上單調(diào)遞增.

所以F(a)<F(1)=2﹣e<0,即)<0,則x2∈(,),使得x2)=0,

故函數(shù)x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1x2x1x2),且x1,x2∈(,).

綜上a的取值范圍是(0,1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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尺寸







甲零件頻數(shù)

2

3

20

20

4

1

乙零件頻數(shù)

3

5

17

13

8

4

)設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為:優(yōu)等品3元,中等品1元,次品虧本1.若將頻率視為概率,試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,估算甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望;

)對(duì)于這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件,在排除其它因素影響的情況下,試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)約有多大的把握認(rèn)為零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān),并說(shuō)明理由.

參考公式:.

參考數(shù)據(jù):


025

015

010

005

0025

0.010


1323

2072

2706

3841

5024

6.635

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【題目】設(shè)函數(shù),其中.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

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(Ⅲ)若對(duì)于任意的,不等式上恒成立,求的取值范圍.

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)若.

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