Question

已知函數其中a是實數．設，為該函數圖象上的兩點，且．
（1）指出函數f(x)的單調區(qū)間;
（2）若函數f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且，求的最小值;
（3）若函數f(x)的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）[－1，0)，(0，+∞)
（2）1
（3）(－ln2－1，+∞)

（1）函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，+∞)．
（2）由導數的幾何意義可知，點A處的切線斜率為，點B處的切線斜率為，
故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有．
當x<0時，對函數f(x)求導，得．
因為，所以，
所以．
因此
當且僅當，即且時等號成立．
所以函數f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，的最小值為1．
（3）當或時，，故．
當時，函數f(x)的圖象在點處的切線方程為，
即．
當時，函數f(x)的圖象在點處的切線方程為，即．
兩切線重合的充要條件是
由（1）式及知，．
由（1）（2）式得，．
設，
則．
所以是減函數．
則．
所以．
又當且趨近于－1時，無限增大，
所以a的取值范圍是．
故當函數f(x)的圖象在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是．