【題目】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=x（cm）．
（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．

【答案】
（1）解：設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長(zhǎng)為a（cm），則a= x，h= （30﹣x），0＜x＜30．

S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，

∴當(dāng)x=15時(shí)，S取最大值


（2）解：V=a2h=2 （﹣x3+30x2），V′=6 x（20﹣x），

由V′=0得x=20，

當(dāng)x∈（0，20）時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈（20，30）時(shí)，V′＜0；

∴當(dāng)x=20時(shí)，包裝盒容積V（cm3）最大，

此時(shí)， ．

即此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值是


【解析】（1）可設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長(zhǎng)為a（cm），寫出a，h與x的關(guān)系式，并注明x的取值范圍．再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后求出何時(shí)它取得最大值即可；（2）利用體積公式表示出包裝盒容積V關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出何時(shí)它取得的最大值即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.函數(shù)f（x）的最小正周期為
B.直線x=﹣ 是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸
C.函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調(diào)遞增
D.將函數(shù)f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=2sin2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，
（1）若a=﹣1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x），g（x）滿足 f（x）g（x）dx=0，則f（x），g（x）為區(qū)間[﹣1，1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2 ，
其中為區(qū)間[﹣1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．給出下列說(shuō)法：①f（x）=3﹣ 不可能是k型函數(shù)； ②若函數(shù)y=﹣ x2+x是3型函數(shù)，則m=﹣4，n=0；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數(shù)，則k的最小值為 ；
④若函數(shù)y= （a≠0）是1型函數(shù)，則n﹣m的最大值為 ．
下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校組織了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖，假設(shè)待測(cè)量的樹木AE的高度H（m），垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三點(diǎn)共線），試根據(jù)上述測(cè)量方案，回答如下問(wèn)題：

（1）若測(cè)得α=60°、β=30°，試求H的值；
（2）經(jīng)過(guò)分析若干次測(cè)得的數(shù)據(jù)后，大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹木的距離d（單位：m），使α與β之差較大時(shí)，可以提高測(cè)量精確度．
若樹木的實(shí)際高度為8m，試問(wèn)d為多少時(shí)，α﹣β最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若過(guò)定點(diǎn)M（﹣1，0）且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2﹣5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過(guò)焦點(diǎn)垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列{an}滿足
（1）計(jì)算a1 ， a2 ， a3 ， a4
（2）猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

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