Question

【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)當(dāng)n∈N＋，求f(n)的表達(dá)式；

(2)設(shè)an＝nf(n)，n∈N＋，求證：a1＋a2＋…＋an<2.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通過令x=n，y=1，說明{f（n）}是以f(1)＝為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列求出；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可說明不等式成立．

(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]

＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

∴當(dāng)n≥2時(shí)，＝.

又f(1)＝，

∴數(shù)列{f(n)}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

(2)證明：由(1)可知，

an＝n·()n＝n·，

設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an，

則Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－n·

＝－＝1－－，

∴Sn＝2－－<2.

即a1＋a2＋…＋an<2.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和的求法，考查不等式的證明，裂項(xiàng)法與錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a (a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.

(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）bn＝ (a－3)2n－1（2）[－9，＋∞)．

【解析】

（Ⅰ）由題意可知bn＝Sn－3n，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n),bn+1=2bn，則{bn}是首項(xiàng)是a﹣3，公比為2的等比數(shù)列，即可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求得數(shù)列an通項(xiàng)an＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，將數(shù)列表達(dá)式代入不等式an＋1≥an，得到a≥3－12·()n－2根據(jù)指數(shù)的單調(diào)性得到a的范圍.

(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即{Sn－3n}是以a－3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．

因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋.①

(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，

于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1

＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2

＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2[12·()n－2＋a－3]，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an12·()n－2＋a－3≥0

a≥3－12·()n－2a≥－9.

又a2＝a1＋3>a1，

綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．