Question

20．如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，E為PB中點，D為AB的中點，且△ABE為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）請作出點B在平面DEC上的射影H，并說明理由．若$BC=3，BH=\frac{12}{5}$，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DE⊥AB，PA⊥AB，從而PA⊥平面ABC，進而BC⊥PA，再由PC⊥BC，能證明BC⊥平面PAC．
（2）過點B作BH⊥CD于H，推導(dǎo)出H為點B在平面DEC上的射影，求出AB=5，PB=10，PA=5$\sqrt{3}$，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答 證明：（1）如圖，∵△ABE是正三角形，且D為AB的中點，
∴DE⊥AB，
∵E為PB的中點，∴PA∥DE，∴PA⊥AB，
∵PA⊥AC，AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又∵PC⊥BC，PA∩PC=P，
∴BC⊥平面PAC．
解：（2）如圖，過點B作BH⊥CD于H，
由（1）知DE⊥平面ABC，∴BH⊥DE，
又∵BH⊥CD，DE∩CD=D，∴BH⊥平面DEC，
∴H為點B在平面DEC上的射影，
在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，則AB=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，CD=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+9}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×x$=$\frac{3x}{4}$，
由${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}{×CD×BH}_{\;}=\frac{3}{5}\sqrt{{x}^{2}+9}$，得$\frac{3x}{4}=\frac{3}{5}\sqrt{{x}^{2}+9}$，
解得x=4，
∴AB=5，PB=10，PA=5$\sqrt{3}$，
∴三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3×5\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．