Question

已知直線l：y=k（x-5）及圓C：x²+y²=16．
（1）若直線l與圓C相切，求k的值；
（2）若直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，弦AB的中點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

分析：（1）圓心到直線的距離等于半徑，可解出k的值．
（2）設(shè)出弦AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線l：y=k（x-5）及圓C：x²+y²=16．利用韋達(dá)定理，表示中點(diǎn)，消參數(shù)k即可．
也可以用過(guò)圓心與直線l垂直的直線，與直線l的交點(diǎn)就是弦AB的中點(diǎn)來(lái)求．

解答：解：（1）直線l與圓C相切，圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑，即：

|5k|

1+k2

=4，∴k=±

4

3

（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)（x，y），則過(guò)圓心與直線l垂直的直線：x+ky=0，它與y=k（x-5）聯(lián)立，因?yàn)橹悬c(diǎn)在這兩條直線上，所以弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程是：x²+y²-5x=0 （x＜

1

5

），軌跡以（

5

2

，0）為圓心，以

5

2

為半徑的圓的一部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，軌跡方程的求法，消參的方法，是中檔題．