Question

6．如圖，直線AB經(jīng)過圓O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交直線OB于點(diǎn)E、D，連接EC，CD．若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半徑為3．
（1）證明：BC²=BD•BE
（2）求OA的長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的三線合一，連接OC，可得∠ACO=90°，由圓的切割線定理即可得到；
（2）先由三角形相似的判定定理可知△BCD∽△BEC，得BD與BC的比例關(guān)系，再由切割線定理列出方程，求出OA的長．

解答 解：（1）證明：如圖，連接OC
由OA=OB，CA=CB，
即有OC⊥AB．
則AB是⊙O的切線，
又BE是圓O的割線，
由切割線定理可得，
BC²=BD•BE；
（2）由DE為直徑，可得∠ECD=90°，
由tan∠CED=$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
由∠B=∠B，∠BCD=∠BEC，
可得△BCD∽△BEC，
則$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及弦切角定理、切割線定理的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生推理和計(jì)算能力，屬于中檔題．