Question

18．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₁的極坐標方程為：ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，曲線C₂的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）求曲線C₁和C₂的直角坐標方程；
（1）設曲線C₁和C₂交于兩點A，B，求以線段AB為直徑的圓的直角坐標方程．

Answer 1

分析 （I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲線ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3即可化為直角坐標方程．曲線C₂參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數） 消去參數化為直角坐標方程．
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得交點坐標，利用中點坐標公式、圓的標準方程即可得出．

解答 解：（I）曲線ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3化為直角坐標方程為：x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
曲線C₂參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數） 化為直角坐標方程為：x=-$\sqrt{3}$（y-1），即x+$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0．
（II）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{x=-\sqrt{3}（y-1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$
即A（0，1），B（$\sqrt{3}$，0），線段AB的中點為M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，則
以線段AB為直徑的圓的直角坐標方程為 $（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=1．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、三角函數求值、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．