Question

已知圓O：x²+y²=1，圓O₁：（x-acosθ）²+（y-bsinθ）²=1（a、b為常數(shù)，θ∈R）對于以下命題，其中正確的有

 

．
①a=b=1時(shí)，兩圓上任意兩點(diǎn)距離d∈[0，1]
②a=4，b=3時(shí)，兩圓上任意兩點(diǎn)距離d∈[1，6]
③a=b=1時(shí)，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點(diǎn)
④a=4，b=3時(shí)，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：由已知條件知兩圓中一個(gè)是原點(diǎn)為圓心，半徑是1的圓，另一個(gè)是圓為（acosθ，bsinθ）半徑是1的圓，由此根據(jù)四個(gè)命題的題面，進(jìn)行它們的正誤，找出正確命題

解答：解：①a=b=1時(shí)，兩圓上任意兩點(diǎn)距離d∈[0，1]，此命題不正確，當(dāng)a=b=1時(shí)，可求得兩圓心之間的距離是1，且動圓的圓心在定圓上，故兩圓相交，由此知，兩圓上任意兩點(diǎn)之間的距離最小值是0，最大值是兩圓的連心線與兩圓的交點(diǎn)中距離較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，它們的距離是3，故兩圓上任意兩點(diǎn)距離d∈[0，1]，不正確；
②a=4，b=3時(shí)，兩圓上任意兩點(diǎn)距離d∈[1，6]，此命題正確，因?yàn)閍=4，b=3時(shí)可求得兩圓距離是

7cos2θ+9

，其范圍是[3，4]，又兩圓半徑是1，故最遠(yuǎn)兩點(diǎn)間距離是6，最近兩間距離是1，即兩圓上任意兩點(diǎn)距離d∈[1，6]；
③a=b=1時(shí)，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點(diǎn)，此命題正確，由于動圓過定圓的圓心，故過定圓圓心的任意一條直線都與兩圓有公共點(diǎn)，由此知a=b=1時(shí)，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點(diǎn)正確；
④a=4，b=3時(shí)，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點(diǎn)．此命題不正確，由②的證明知，兩圓沒有公共點(diǎn)，故不可能找到一條直線當(dāng)對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點(diǎn)
綜上知②③是正確命題
故答案為②③

點(diǎn)評：本題考查圓方程的應(yīng)用，解答本題，關(guān)鍵是掌握圓方程的幾何意義，由圓的方程找出圓的圓心與圓的半徑來，且能根據(jù)這此量判斷出兩圓的位置關(guān)系，本題綜合性強(qiáng)，比較抽象，判斷時(shí)可以借助圖象輔助理解判斷．