Question

19．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)A（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OA⊥OB，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題知：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A、B共線，不合題意．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓C方程聯(lián)立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（1）由題知：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）解：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A、B共線，不合題意．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
與橢圓C方程聯(lián)立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得k²$＞\frac{3}{4}$．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，
∴x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，即（1+k²）x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4=0，
整理得k²=4，
解得k=±2，滿足①．
∴直線l的方程為y=±2x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．