Question

12．已知函數(shù)f（x）=kx²-lnx（k∈R）．
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：$\frac{ln2}{{2}^{4}}+\frac{ln3}{{3}^{4}}+\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由k≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，設(shè)ω（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出ω（x）_max，得到$\frac{lnx}{{x}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$（x≥2），對(duì)n依次取值，作和即可．

解答 解：（1）由題可知f（x）=kx²-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
所以f′（x）=2kx-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{kx}^{2}-1}{x}$，
若k≤0，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
若k＞0，f′（x）=2kx-$\frac{1}{x}$=$\frac{2k（x+\frac{1}{\sqrt{2k}}）（x-\frac{1}{\sqrt{2k}}）}{x}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{2k}}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{\sqrt{2k}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（2）令f（x）≥0，則kx²≥lnx，故k≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
設(shè)ω（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，由于ω′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令ω′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)x∈（0，$\sqrt{e}$）時(shí)，ω′（x）＞0，ω（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（$\sqrt{e}$，+∞）時(shí)，ω′（x）＜0，ω（x）單調(diào)遞減，
所以ω（x）_max=ω（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
所以當(dāng)k∈[$\frac{1}{2e}$，+∞）時(shí)，k≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
即$\frac{lnx}{{x}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$（x≥2），
從而$\frac{lnx}{{x}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$（x≥2），
從而得到$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{n}^{2}}$（n≥2），對(duì)n依次取值2，3，…，n可得
$\frac{ln2}{{2}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{ln3}{{3}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{3}^{2}}$，$\frac{ln4}{{4}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$•$\frac{1}{{n}^{2}}$（n≥2，n∈N^*），
對(duì)上述不等式兩邊依次相加得到：
$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$），（n≥2，n∈N^*），
又∵$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$，（n≥2，n∈N^*），
而$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$＜1，
∴$\frac{1}{2e}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{2e}$，（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$（n≥2，n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查分類討論思想，是一道綜合題．