【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論的單調性;
(Ⅱ)當時,證明:;
(Ⅲ)求證:對任意正整數(shù),都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)先求,再對 進行討論即可.
(Ⅱ)由題知即證,構造新函數(shù)設,利用導數(shù)只需即得證.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,累加作和即得證.
(Ⅰ)易得,函數(shù) ,
①當時,,所以在上單調遞增
②當時,令,解得 .
當時,,所以,
所以在上單調遞減;
當時,,所以,
所以在上單調遞增.
綜上,當時,函數(shù)在上單調遞增;
當時,函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增.
(Ⅱ)當 時,.
要證明,
即證,即. 即.
設則
令得,.
當時,,
當時,.
所以為極大值點,也為最大值點
所以.
即.
故.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,.
令,
則 ,
所以
,
即
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】精準扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障.某地政府在對某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實施精準扶貧的工作中,準備投入資金將當?shù)剞r產品進行二次加工后進行推廣促銷,預計該批產品銷售量萬件(生產量與銷售量相等)與推廣促銷費萬元之間的函數(shù)關系為(其中推廣促銷費不能超過5千元).已知加工此農產品還要投入成本萬元(不包括推廣促銷費用),若加工后的每件成品的銷售價格定為元/件.
(1)試將該批產品的利潤萬元表示為推廣促銷費萬元的函數(shù);(利潤=銷售額-成本-推廣促銷費)
(2)當推廣促銷費投入多少萬元時,此批產品的利潤最大?最大利潤為多少?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x-1+ (a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓E:()過點,其心率等于.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若A,B分別是橢圓E的左,右頂點,動點M滿足,且橢圓E于點P.
①求證:為定值:
②設與以為直徑的圓的另一交點為Q,求證:直線經過定點.
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【題目】根據(jù)指令,機器人在平面上能完成下列動作:如圖,先從原點O沿正東偏北方向行走一段時間后,再向正北方向行走一段時間,但何時改變方向不定.假定機器人行走速度為10m/min,則機器人行走2min時的可能落點區(qū)域的面積是__________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)有兩個不同極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,求證:對任意,恒成立.
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【題目】社會上有人認為在機動車駕駛技術上,男性優(yōu)于女性,這是真的么?某社會調查機構與交警合作隨機統(tǒng)計了經常開車的100名駕駛員最近三個月內是否有交通事故或交通違法事件發(fā)生,得到下面的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計 | |
無 | 40 | 35 | 75 |
有 | 15 | 10 | 25 |
總計 | 55 | 45 | 100 |
附:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
據(jù)此表,可得( ).
A.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性不足
B.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性超過
C.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性超過
D.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性超過
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