Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個不同極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，求證：對任意，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）當時,求導數(shù)，將切點橫坐標帶入導數(shù)得到斜率，再計算切線方程.

（2）求導，取導數(shù)為0，參數(shù)分離得到，設右邊為新函數(shù)，求出其單調(diào)性，求得取值范圍得到答案.

（3）將導函數(shù)代入不等式，化簡得到，設左邊為新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到證明.

（1）當時，．

∴

∴，又∵

∴，即

∴函 數(shù) 在點處的切線方程為．

（2）由題意知，函數(shù)的定義域為， ，

令，可得，

當時，方程僅有一解，∴，

∴

令

則由題可知直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點．

∵

∴當時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；

當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)．

又∵，，且當時，

∴，

∴

∴實數(shù)的取值范圍為．

（3）∵

∴要證對任意，恒成立

即證成立

即證成立

設

∴

∵時，易知在上為減函數(shù)

∴

∴在上為減函數(shù)

∴

∴成立

即對任意，恒成立．