Question

（1）解不等式x|x-1|-2＜|x-2|；
（2）已知x，y，z均為正數(shù)．求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）,絕對值不等式的解法

專題：計算題

分析：（1）分①當(dāng)x≥2、當(dāng)1≤x＜2、當(dāng)x＜1三種情況，分別求出不等式的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用基本不等式證得

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

，同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，即得要證的不等式．

解答： 解：（1）①當(dāng)x≥2時，原不等式為x（x-1）-2＜x-2⇒0＜x＜2．又x≥2，∴x∈∅．
②當(dāng)1≤x＜2時，原不等式x（x-1）-2＜2-x⇒-2＜x＜2．又1≤x＜2，∴1≤x＜2．
③當(dāng)x＜1時，原不等式x（1-x）-2＜2-x⇒x∈R，又x＜1，∴x＜1．
綜上：原不等式的解集為{x|x＜2}．
（2）證明：因為x，y，z均為正數(shù)．所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

，
同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時，以上三式等號都成立．
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，用綜合法證明不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．