Question

如果n=

8

π

∫

π0

sin2xdx則（1+2x）（1-x）ⁿ展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)為______．

Answer 1

根據(jù)題意，n=

8

π

∫

π0

sin2xdx=

8

π

∫₀^π（

1-cos2x

2

）dx=

8

π

×

1

2

（x-

sin2x

2

）|₀^π=4，
則（1+2x）（1-x）⁴中，x²項(xiàng)產(chǎn)生有2種情況，
①（1+2x）中出常數(shù)項(xiàng)，（1-x）⁴中出x²項(xiàng)，x²項(xiàng)的系數(shù)為1×C₄²（-1）²，
②（1+2x）與（1-x）⁴中，都出x項(xiàng)，x²項(xiàng)的系數(shù)為2×C₄³（-1），
則其展開式中x²的系數(shù)為1×C₄²（-1）²+2×C₄³（-1）=-2；
故答案為-2．