Question

13．已知橢圓C與雙曲線y²-x²=1有共同焦點，且離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若A為橢圓C的下頂點，M、N為橢圓C上異于A的兩點，直線AM與AN的斜率之積為1．
（i）求證：直線MN恒過定點，并求出該定點坐標(biāo)；
（ii）若O為坐標(biāo)原點，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用直線的斜率公式，設(shè)出設(shè)直線MN：y=kx+t，代入橢圓方程，可得（3+k²）x²+2ktx+t²-3=0，運用韋達定理，結(jié)合M，N在直線上，滿足直線方程，化簡整理，可得t的方程，解方程可得t，即可證得直線MN恒過定點；
（ii）由（i）可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂，運用（i）的結(jié)論，由判別式大于0，化簡整理，并運用換元法，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a²-b²=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$+x²=1；
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由A（0，-$\sqrt{3}$），直線AM與AN的斜率之積為1，
可得$\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}$=1，
即有x₁x₂=y₁y₂+$\sqrt{3}$（y₁+y₂）+3，
由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)直線MN：y=kx+t，
代入橢圓方程，可得（3+k²）x²+2ktx+t²-3=0，
可得x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{2kt}{3+{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=2t-$\frac{2{k}^{2}t}{3+{k}^{2}}$=$\frac{6t}{3+{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$+kt（-$\frac{2kt}{3+{k}^{2}}$）+t²=$\frac{3{t}^{2}-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，
則$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$=$\frac{3{t}^{2}-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$+$\sqrt{3}$（$\frac{6t}{3+{k}^{2}}$）+3，
化為t²+3$\sqrt{3}$t+6=0，
解得t=-2$\sqrt{3}$（-$\sqrt{3}$舍去），
則直線MN的方程為y=kx-2$\sqrt{3}$，
即直線MN恒過定點，該定點坐標(biāo)為（0，-2$\sqrt{3}$）；
（ii）由（i）可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂
=$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$+$\frac{3{t}^{2}-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$=$\frac{4{t}^{2}-3-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$=$\frac{45-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，
由（3+k²）x²+2ktx+t²-3=0，
可得△=4k²t²-4（t²-3）（3+k²）=48k²-36（3+k²）＞0，
解得k²＞9．
令3+k²=m，則m＞12，且k²=m-3，
即有$\frac{45-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$=$\frac{45-3（m-3）}{m}$=$\frac{54}{m}$-3，
由m＞12，可得-3＜$\frac{54}{m}$-3＜$\frac{3}{2}$．
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是（-3，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線恒過定點問題，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，以及直線的斜率公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡整理的運算能力，具有一定的綜合性，屬于難題．