Question

在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x²，試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中陰影部分的面積：
（1）S₁=S₂；
（2）S=S₁+S₂最小．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用定積分求出面積，根據(jù)S₁=S₂，建立方程，即可確定點(diǎn)t的值；
（2）S=S₁+S₂=

4

3

t³-t²+

1

3

（0≤t≤1），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值．

解答： 解：（1）∵S₁=t•t²-∫

t 0

x²dx=

2

3

t³，
S₂=∫

1 t

x²dx-（1-t）•t²=

2

3

t³-t²+

1

3

，
∵S₁=S₂，
∴

2

3

t³=

2

3

t³-t²+

1

3

，
∴t=

3

3

．
（2）∵S=S₁+S₂=

4

3

t³-t²+

1

3

（0≤t≤1），
S′=4t²-2t=4t（t-

1

2

），令S′=0，得t=0，t=

1

2

．
∵函數(shù)在（0，

1

2

）上S′＜0，在（

1

2

，1）上S′＞0，
∴t=

1

2

是極小值點(diǎn)，
又S（

1

2

）=

1

4

，S（0）=

1

3

，S（1）=

2

3

，
故t=

1

2

時(shí)，S=S₁+S₂最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用定積分求面積，解題的關(guān)鍵是確定被積區(qū)間及被積函數(shù)．