【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明:PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在點F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:以D為坐標原點,
分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
設(shè)PD=DC=2,則A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),
=(2,0,﹣2), =(0,1,1), ,
設(shè) 是平面BDE的一個法向量,
則由 ,得 ,
取y=﹣1,得 .
∵ =2﹣2=0,∴ ,
又PA不包含于平面BDE,PA∥平面BDE,
(2)解:由(1)知 =(1,﹣1,1)是平面BDE的一個法向量,
又 = =(2,0,0)是平面DEC的一個法向量.
設(shè)二面角B﹣DE﹣C的平面角為θ,
∴cosθ=cos< , >= .
故二面角B﹣DE﹣C的余弦值為 .
(3)解:∵ =(2,2,﹣2), =(0,1,1),
∴ =0,∴PB⊥DE,
假設(shè)棱PB上存在點F,使PB⊥平面DEF,設(shè) ,(0<λ∠1),
則 =(2λ,2λ,﹣2λ), = =(2λ,2λ,2﹣2λ),
由 =0,得4λ2+4λ2﹣2λ(2﹣2λ)=0,
∴ ∈(0,1),此時PF= ,
即在棱PB上存在點F,PF= ,使得PB⊥平面DEF.
【解析】(1)以D為坐標原點,分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能證明PA∥平面BDE.(2)由已知求出平面BDE的一個法向量和平面DEC的一個法向量,利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值.(Ⅲ)由已知得PB⊥DE,假設(shè)棱PB上存在點F,使PB⊥平面DEF,設(shè) ,(0<λ∠1),由此利用向量法能求出在棱PB上存在點F,PF= ,使得PB⊥平面DEF.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運動”已成為當下熱門的運動方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”,他隨機選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù) 性別 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定為“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
(2)若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人,其中每日走路不超過5000步的有人,超過10000步的有人,設(shè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=alnx+1(a>0).
(1)當x>0時,求證: ;
(2)在區(qū)間(1,e)上f(x)>x恒成立,求實數(shù)a的范圍.
(3)當 時,求證: (n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項和為Sn , 已知a1+a4=﹣ ,且對于任意的n∈N*有Sn , Sn+2 , Sn+1成等差數(shù)列;
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知bn=n(n∈N+),記 ,若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)對于n≥2恒成立,求實數(shù)m的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中正確的是( )
A.數(shù)據(jù)4、6、6、7、9、4的眾數(shù)是4
B.一組數(shù)據(jù)的標準差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方
C.數(shù)據(jù)3,5,7,9的標準差是數(shù)據(jù)6、10、14、18的標準差的一半
D.頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解小學(xué)生的體能情況,抽取了某校一個年級的部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右前三個小組的頻率分別為 0.1,0.3,0.4,第一小組的頻數(shù)為 5.
(1)求第四小組的頻率;
(2)若次數(shù)在 75 次以上(含75 次)為達標,試估計該年級學(xué)生跳繩測試的達標率.
(3)在這次測試中,一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)?試求出中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點,動圓經(jīng)過點且和直線相切,記動圓的圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)曲線上一點的橫坐標為,過的直線交于另一點,交軸于點,過點作的垂線交于另一點.若是的切線,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8,面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點為橢圓上一點,直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個交點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了估計某水池中魚的尾數(shù),先從水池中捕出2000尾魚,并給每尾魚做上標記(不影響存活),然后放回水池,經(jīng)過適當?shù)臅r間,再從水池中捕出500尾魚,其中有標記的魚為40尾,根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計該水池中魚的尾數(shù)為( 。
A.10000
B.20000
C.25000
D.30000
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