Question

5．某市春節(jié)期間7家超市廣告費(fèi)支出x_i（萬元）和銷售額y_i（萬元）數(shù)據(jù)如表：

超市	A	B	C	D	E	F	G
廣告費(fèi)支出xi	1	2	4	6	11	13	19
銷售額yi	19	32	40	44	52	53	54

（Ⅰ）若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y與x的線性回歸方程．
（Ⅱ）若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程：$\hat y=-0.17{x^2}$+5x+20，經(jīng)計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R²分別約為0.93和0.75，請用R²說明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測A超市廣告費(fèi)支出3萬元時(shí)的銷售額．
參考數(shù)據(jù)：$\overline x=8，\overline y=42，\sum_{i=1}^7{x_i}{y_i}=2794，\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}$=708．
參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，計(jì)算回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（Ⅱ）根據(jù)R²的絕對值越接近1，模擬效果越好，得出二次函數(shù)回歸模型更合適；
利用二次函數(shù)模型求出x=3時(shí)y的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overline x=8，\overline y=42，\sum_{i=1}^7{x_i}{y_i}=2794，\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}$=708，
∴回歸系數(shù)為$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{2794-7×8×42}{{708-7×{8^2}}}=1.7$，…（3分）
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=28.4$；…（5分）
∴y關(guān)于x的線性回歸方程是$\overline y=1.7x+28.4$；…（6分）
（Ⅱ）∵R²分別約為0.93和0.75，且0.75＜0.93，
∴二次函數(shù)回歸模型更合適；…（9分）
當(dāng)x=3萬元時(shí)，$\hat y=-0.17{x^2}$+5x+20=-0.17×3²+5×3+20=33.47，
∴預(yù)測A超市銷售額為33.47萬元．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了回歸方程的求法與應(yīng)用問題，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，是中檔題．