【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意△a
n=a
n+1-a
n=(n+1)
2-(n+1)-n
2+n=5n-4,所以△a
n+1-△a
n=6.由此能夠證明{△a
n}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)由△
2 a
n-△a
n+1+a
n=-2
n,知△a
n-a
n=2
n.由此入手能夠求出數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式,從而求數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)由a
n=n•2
n-1,c
n=
=
=
,當(dāng)n≥2,n∈N
*時,
,從而可證.
解答:解:(Ⅰ)根據(jù)題意:△a
n=a
n+1-a
n=3(n+1)
2-5(n+1)-3n
2+5n=6n-2.(2分)
∴△a
n+1-△a
n=6
∴數(shù)列{△a
n}是首項(xiàng)為4,公差為6的等差數(shù)列.(3分)
(Ⅱ)由△
2a
n-△a
n+1+a
n=-2
n,∴△a
n+1-△a
n-△a
n+1+a
n=-2
n,⇒△a
n-a
n=2
n.
而△a
n=a
n+1-a
n,∴a
n+1-2a
n=2
n,(5分)
∴
-
=
,即b
n+1-b
n=
,(6分)
∴數(shù)列{b
n}構(gòu)成以
為首項(xiàng),
為公差的等差數(shù)列,即b
n=
.(7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
=
,則a
n=n•2
n-1,
∴c=
=
=
(9分)
∴當(dāng)n≥2,n∈N*時
=
=
(
-
),
∴c
1+
++
=1+
[(
-
)+(
-
)+(
-
)++(
-
)+(
-
)]
=1+
(
+
-
-
)<1+
(
+
)=
.
當(dāng)n=1時,c
1=1<
,顯然成立
∴c
1+
++
<
.(12分)
點(diǎn)評:第(Ⅰ)題考查等差數(shù)列的證明,解題時要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用;第(Ⅱ)題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法,解題時要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用;第(Ⅲ)題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的證明,解題時要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.