Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）直接由題可得，可得橢圓方程；

（Ⅱ）由題，寫出直線，的方程，設(shè)，由題可得

，再可得，即可求得k的值；

（Ⅲ）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，再求得AB的長(zhǎng)，再利用四邊形的面積公式和基本不等式可求得面積的最值.

（Ⅰ）解：依題易知橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）直線，的方程分別為．如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，解得或，

（Ⅲ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，

又，所以四邊形的面積為

，

當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為 ．