Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

1-2x

1+2x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并用奇偶性的定義證明；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1先求函數(shù)的定義域，看定義域是否關于原點對稱，再用奇偶性的定義證明；
（2）先把y=f（x）的表達式變形為f(x)=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

1+2x

-1，再用單調(diào)性的定義證明；
（3）由第（2）問，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即不等式f（t²-2t）＜f（k-2t²）恒成立，
從而不等式t²-2t＞k-2t²恒成立．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1-2x

1+2x

為偶函數(shù)，下面給出證明：
?x∈R，1+2^x≠0，故函數(shù)的定義域為R，∴定義域關于原點對稱，
又f(-x)=

1-2-x

1+2-x

=

2x-2-x•2x

2x+2-x•2x

=

2x-1

2x+1

=-

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴y=f（x）為奇函數(shù)．
（2）f(x)=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

1+2x

-1，
設x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）=(

2

1+2x1

-1)-(

2

1+2x2

-1)=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，又∵x₁＜x₂，∴2x2＞2x1，∴2x2-2x1＞0，
∵(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即不等式f（t²-2t）＜f（k-2t²）恒成立，從而不等式t²-2t＞k-2t²恒成立，
∴k＜3t²-2t，∴k小于3t²-2t的最小值即可，
3t²-t=3(t-

1

6

)2-

1

12

≥-

1

12

，∴k＜-

1

12

．

點評：本題考查函數(shù)定義域、函數(shù)奇偶性的判斷，利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題，同時利用單調(diào)性解不等式，恒成立的問題轉化為求函數(shù)的最值，是常見題型．