Question

本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或嚴三步驟．
已知向量

m

=（sinωx，cosωx），

n

=（cosx，cosx），其中ω＞0，函數f（x）=2

m

•

n

-1的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考點：三角函數的最值,平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）將f（x）利用向量的數量積的運算化簡為簡單的三角函數形式，從而由周期公式可求ω的值；
（Ⅱ）由已知x范圍，先確定2x+

π

4

的取值范圍，又函數y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是減函數，故可求函數f（x）在在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

m

•

n

-1=2sinωx•cosωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin（2ωx+

π

4

）．  
由題意知：T=π，即

2π

2ω

=π，
解得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin（2ωx+

π

4

），
∵x∈[

π

6

，

π

4

]，得2x+

π

4

∈[

7π

12

，

3π

4

]，
又函數y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是減函數，
∴f（x）_max=

2

sin

7π

12

=

2

sin（

π

4

+

π

3

）=

2

sin

π

4

cos

π

3

+

2

cos

π

4

sin

π

3

=

3 +1

2

．

點評：本題考查了平面向量的數量積的坐標運算以及利用倍角公式化簡三角函數解析式、求三角函數的最值，屬于中檔題．