【題目】求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間:
(1);
(2).
【答案】(1)值域,增區(qū)間,減區(qū)間;(2)值域,減區(qū)間,增區(qū)間.
【解析】
(1)令,求得的取值范圍,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的值域,利用復合函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;
(2)設(shè),可得,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得原函數(shù)的值域,利用復合函數(shù)的單調(diào)性可得出原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.
(1)函數(shù)的定義域為,設(shè),則,
又因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,且,.
所以函數(shù)的值域為.
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增,而指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
同理,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,而指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為;
(2)函數(shù)的定義域為,設(shè),則.
,
所以函數(shù)的值域為.
因為在上單調(diào)遞減,此時由得.
而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
同理,因為在上單調(diào)遞增,此時由得.
而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
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【題目】已知橢圓:,為坐標原點,為橢圓的左焦點,離心率為,直線與橢圓相交于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是弦的中點,是橢圓上一點,求的面積最大值.
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【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則,將某些整數(shù)染成紅色,先染1;再染3個偶數(shù)2,4,6;再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15;再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28;再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數(shù)29,31,,45;按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,,則在這個紅色子數(shù)列中,由1開始的第1000個數(shù)是_________
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【題目】求下列各題:
(1)已知求的最大值;
(2)已知,求的最小值;
(3)已知,求的最大值;
(4)已知,求的最小值;
(5)已知,求的最小值.
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【題目】某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.
(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;
(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】如圖, 垂直于菱形所在平面,且, ,點、分別為邊、的中點,點是線段上的動點.
(I)求證: ;
(II)當三棱錐的體積最大時,求點到面的距離.
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