Question

2．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心為O，左焦點為F，P是雙曲線上的一點$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PF}$=0且4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=3${\overrightarrow{OF}^2}$，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{13}+1}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 通過向量的垂直，向量的數(shù)量積得到∠FOP=30°，設雙曲線另一個焦點為D，則在△POD中，利用余弦定理以及雙曲線的定義，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{PF}=0$，∴$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PF}$，
∴4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=4|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OF}$＞=4|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OF}$|•$\frac{|OP|}{|OF|}$=4|OP|²=3${\overrightarrow{OF}^2}$=3c²，
則|OP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ c，
則cos∠FOP=$\frac{|OP|}{|OF|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則∠FOP=30°，
則|PF|=$\frac{1}{2}$c
設雙曲線另一個焦點為D，則在△POD中，
由余弦定理可得|PD|²=|OP|²+|OD|²-2|OP||OD|cos150°=$\frac{3}{4}$c²+c²+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ c•c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13}{4}$c²，
則|PD|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$c，
∵|PF|=$\frac{1}{2}$c，
∴由雙曲線定義得|PD|-|PF|=2a，
即$\frac{\sqrt{13}}{2}$c-$\frac{1}{2}$c=2a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{\sqrt{13}-1}$=$\frac{4（\sqrt{13}+1）}{13-1}$=$\frac{4（\sqrt{13}+1）}{12}$=$\frac{{\sqrt{13}+1}}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)向量垂直以及余弦定理結合雙曲線的定義建立方程關系是解決本題的關鍵．考查學生的運算和轉化能力．