Question

10．如圖，∠BAC的平分線與BC和△ABC的外接圓分別相交于D和E，延長(zhǎng)AC交過D，E，C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)F．
（1）求證：EC=EF；
（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，內(nèi)角平分線的定義，證明∠ECF=∠EFC，即可證明EC=EF；
（2）由三角形相似的判定定理，證明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割線定理，即可求AC•AF的值．

解答 （1）證明：因?yàn)椤螮CF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA
∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，
AE平分∠BAC，可得∠CAE=∠BAE，
可得∠ECF=∠EFC，即△ECF為等腰三角形，
所以EC=EF；
（2）解：因?yàn)椤螮CD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，
所以△CEA∽△DEC，即$\frac{CE}{EA}$=$\frac{DE}{CE}$，即EA=$\frac{E{C}^{2}}{DE}$，
又ED=2，EF=3，
由（1）知，EC=EF=3，所以EA=$\frac{9}{2}$，
所以AC•AF=AD•AE=（AE-DE）•AE=（$\frac{9}{2}$-2）×$\frac{9}{2}$=$\frac{45}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，割線定理的運(yùn)用，考查推理和計(jì)算能力，屬于中檔題．