Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x．
（1）判斷f（x）的奇偶性，證明你的結論；
（2）當a在何范圍內(nèi)取值時，關于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？

Answer 1

解：（1）證明：顯然f（x）的定義域是R．設x∈R，
∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）解：設-1＜x₁＜x₂≤1，則f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+3x₁）-（-x₂³+3x₂）=（x₁-x₂）[3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）]
∵x₁＜x₂，3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-1，1]上是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]．
∴當a在（-2，2]內(nèi)取值時，關于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解．
分析：（1）根據(jù)已知中f（x）=-x³+3x．求出f（-x），并判斷f（-x）與f（x）的關系，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到函數(shù)的奇偶性，
（2）用定義法，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．當自變量變化與函數(shù)值變化一致時，為增函數(shù)；當自變量變化與函數(shù)值變化相反時，為減函數(shù)，得出f（x）在（-1，1]上是增函數(shù)，從而函數(shù)f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義及性質(zhì)是解答本題的關鍵．