Question

【題目】已知函數f（x）=（x2+bx+b） （b∈R）
（1）當b=4時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0， ）上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當b=4時，f（x）=（x2+4x+4） = （x ），

則 = ．

由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．

當x＜﹣2時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數．

當﹣2＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上為增函數．

當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，f（x）在（0， ）上為減函數．

∴當x=﹣2時，f（x）取極小值為0．

當x=0時，f（x）取極大值為4

（2）解：由f（x）=（x2+bx+b） ，得：

= ．

由f（x）在區(qū)間（0， ）上單調遞增，

得f′（x）≥0對任意x∈（0， ）恒成立．

即﹣5x2﹣3bx+2x≥0對任意x∈（0， ）恒成立．

∴ 對任意x∈（0， ）恒成立．

∵ ．

∴ ．

∴b的取值范圍是

【解析】（1）把b=4代入函數解析式，求出函數的導函數，由導函數的零點對定義域分段，由導函數在各區(qū)間段內的符號判斷原函數的單調性，從而求得極值；（2）求出原函數的導函數，由導函數在區(qū)間（0， ）上大于等于0恒成立，得到 對任意x∈（0， ）恒成立．由單調性求出 的范圍得答案．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．