已知關于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.
(1)求上述不等式的解;
(2)是否存在實數k,使得上述不等式的解集A中只有有限個整數?若存在,求出使得A中整數個數最少的k的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設原不等式的解集為A,然后分k大于0且不等于2,k等于2,小于0和等于0四種情況考慮,當k等于0時,代入不等式得到關于x的一元一次不等式,求出不等式的解集即為原不等式的解集;當k大于0且k不等于2時,不等式兩邊除以k把不等式變形后,根據基本不等式判斷
k+與4的大小即可得到原不等式的解集;當k等于2時,代入不等式,根據完全平方式大于0,得到x不等于4,進而得到原不等式的解集;當k小于0時,不等式兩邊都除以k把不等式變形后,根據
k+小于4,得到原不等式的解集,綜上,得到原不等式的解集;
(2)根據(1)中求出的不等式的解集A,得到當k小于0時,A中的整數解個數有限個,利用基本不等式求出
k+的最大值,進而求出此時k的值.
解答:解:(1)設原不等式的解集為A,
當k=0時,A=(-∞,4);(2分)
當k>0且k≠2時,原不等式化為[x-(k+
)](x+4)>0,
∵k+
>4,(4分)
∴
A=(-∞,4)∪(k+,+∞);(5分)
當k=2時,A=(-∞,4)∪(4,+∞);(不單獨分析k=2時的情況不扣分)
當k<0時,原不等式化為[x-(k+
)](x-4)<0,
∴
A=(k+,4);(7分)
(2)由(1)知:當k≥0時,A中整數的個數為無限個;(9分)
當k<0時,A中整數的個數為有限個,(11分)
因為
k+≤-4,當且僅當k=-2時取等號,(12分)
所以當k=-2時,A中整數的個數最少.(14分)
點評:此題考查了一元二次不等式的解法,考查了分類討論的數學思想,是一道中檔題.