Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，然后得極值；

（2）設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)再求導(dǎo)，以確定的單調(diào)性和正負(fù)，是的最小值，分類討論，若，易知結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明存在，使得，然后得的單調(diào)性，確定有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意．從而得出的范圍．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

令，則列表如下：

		1
	-	0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以；

（2）設(shè)

，

設(shè)，

由得，在單調(diào)遞增，

即在單調(diào)遞增，，

①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，在單調(diào)遞增，

又，故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)，即時(shí)，由（1）可知，

所以，又，

故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，

故當(dāng)時(shí)，，

在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解1，

又時(shí)，單調(diào)遞增，

且，令，

，故在單調(diào)遞增，又

，

∴當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，故，故，

又，由零點(diǎn)存在定理可知，，

故在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

又在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解1，

綜上，.