Question

19．已知方程cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=k+1．
（1）k為何值時，方程在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)有兩個相異的解α，β；
（2）當(dāng)方程在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)有兩個相異的解α，β時，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），根據(jù)函數(shù)圖象判斷k的范圍；
（2）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的對稱軸，根據(jù)圖象的對稱性得出α+β的值．

解答 解：（1）令f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
作出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當(dāng)1≤k+1＜2即0≤k＜1時，f（x）=k+1有兩個相異的解．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$上的對稱軸為x=$\frac{π}{3}$，
∴α+β=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．